까망이의 개발자 마을

내가 봐온 사이트들 중에는

가장 정리가 수학적으로 잘되어 있는 사이트인듯..

http://math7.tistory.com/

중학수준 ~ 대학 수준까지..

난 최근 통계정보를 보기 위해 소개 받았는데..

기초부터 아주 잘 정리된...

개인적으로 수학의 정석이란 책을 굉장히 좋아한다.

물론 이 책으로 공부를 많이 했기때문이기도 하지만, 

이책을 문제집으로 보기 보다는 수학의 사전이라고 생각한다.

예를 들어서.. 국어 공부할 때, 실제 문제 풀고 읽고 하는건 소설이나, 시, 그리고 다른 어떤 지문등을 읽고, 그에 대해 이해한다.

(개인적으로 국어를 잘 못해서..저는 이런 방식으로 공부를 해왔습니다만..)

그리고 모르는 단어가 나왔을 경우, 사전을 찾는다던지 검색을 한다던지..그렇게 공부를 한다.

수학은? 문제 읽고 모르겠는데? 공식은 뭐지? 모르겠는데? 아씨 뭐지? 모르겠는데? ......안해!!!!

이렇게 되는게 수두룩이다.

개인적으로 정석 또는 해법수학, 개념원리 등 기본 공식이 잘 정리된 책을 한권은 공부해야 한다고 주장한다.

그렇게 개념을 익히고, 그 개념에 대한 기본적인 쉬운 문제들을 많이..아주 많이 풀어봐야 한다.

여기서 많이라 함은, 적어도 그 책을 2번 정도 풀어야 한다는 것이다.

그래야 내가 쓰는 공식이 뭐고, 내가 기억을 하고 있는지, 아닌지, 아는것인지 아닌지 알게 된다.

대부분 그럴것이다. 어떻게 두번씩이나 푸냐고..

사실 나도 처음엔 힘들었다. 고2때 정석을 3회 이상 풀었지만 처음엔 정말 뭔소린지..

두번째, 세번째는 금방 한다. 왜? 아는 내용은 훑어 보기만 하고 슬슬 넘어가니깐.. 

문제는 내가 모르는게 어디에 있는 공식이고, 어떤 식으로 풀어야 하는가를 아는 것이다.

일반 문제집은 간략하게 설명만 나오고, 또 해답지 조차도 중간중간 빼먹고 다음줄로 넘어가 버리고..

해답을 보고 이해갸 되야 하는데, 이해가 안되면..그때부터는 멘붕인것이다.

뭐 주저리 주저리 또 앞뒤없이 글을 쓰고 있지만 이것은 분명하다.

수학을 잘하려면, 공식을 알아야 하고, 그 공식을 빨리, 정확히 익히기 위해서는 기본 수험서(정석, 해법수학, 개념원리 등)을 

반드시 1회 이상 (많으면 많을수록 좋지만) 정독해서 풀어야 하고,

그리고 나서 다른 서술식 문제를 풀어야 한다.

자 간단히..

서술 문제를 못푸는 이유는?

간단하다. 대부분 식을 잘 못세운다. 식만 던져주면 다 풀수 있나?

아니다 식을 줘도 잘 못푼다.

그럼 뭐부터 공부해야 할까? 식세우기? 아니면 식 풀기..

시험지에서 쉬운 문제부터 맞으려면 식 풀기부터 해야하지 않을까?

식을 주면 100% 풀수 있다는 자신감이 생길때는 그때부터 새로운 유형의 문제를 접하고

그 문제를 잘 읽고 식을 세우는 것을 연습하면 된다.

그것이 유형별 학습이라고 생각한다.

기본을 익혀라. 그것이 첫 걸음이다.

덧셈 뺄셈도 틀리면서 미적문을 논하지 말라.

항상 기본이 중요한 법이다.

수학 문제를 풀땐 친구들은 문제를 보고는 일단 '아 몰라' 하고 넘어간다.

왜?

왜그럴까?

한가지 재밌는 사실은 그 문제를 기본적으로 공부한 친구들은 다 풀수 있다는 것이다.

그러나 어려워 한다. 이유인 즉

1+1 = ?? 얼마인가? 초등학교에 입학도 하기전인 친구들도 요즘은 다 알것이다.

1+1 = 2 이다.

이걸 조금더 어렵게 낸다고 하면

영희가 사과 1개가 있고, 철수가 사과 1개를 가지고 있다. 사과는 모두 몇개인가?

자 이문제를 보면 결국 식은 1+1 이란걸 알수 있다.

그렇다면 이걸 좀더 어렵게 내볼까?

영희는 사과가 4개 있었고, 철수는 사과가 5개 있었다. 영희는 사과를 3개 먹고, 철수는 사과를 4개 먹었다.

남은 사과는 모두 몇개 인가?

이 문제도 따지고 보면 결국 1+1 = 2 이다.

어려운 문제도 결국은 간단하게 만들어 지는 것이다.

의미인 즉슨, 우선 1. 기본적인 식을 풀줄 알고,  2. 그 식을 만들줄 알면 모든 문제를 풀수 있다는 것이다.

뭐 물론 이런 방식은 중, 고등학교에서만 통용되는 방식이고, 수학을 학문으로 배우는 대학생은 경우가 다르므로 알아서 공부하시고..

대학에서 수학을 공부할 정도면 뭐..수포자는 아니겠죠??ㅎㅎ

이 방법이 좋다는건 아니다. 다만 이런식으로 생각하면 수학에 겁먹을게 없다는 것이다.

40점 이하의 친구들은 대부분 수학을 아예 모른다. 즉.위의 1번인 식을 놓고도 못푸는 친구들이다.

이런 친구들은 우선 1번을 마스터 시키는게 우선이다.

그리고 70점 이하는 저 1번을 풀줄을 알긴 아는데 완전히 이해를 하지 못한 친구들이다.

90점 이하의 친구들은 대부분 2번을 어려워 한다. 2번에서 1번만 오면 다 풀수 있는 친구들이므로 연습만 하고 

식으로 만드는 길만 조금 알려주면 금방 오른다.

나머지 90점 이상의 친구들은 실수다.

실수를 줄이는 연습은 많이 풀어보는 것 뿐이다.

계산할 때, 막 갈겨쓰지 말고, 줄을 맞춰서 깔끔하게 정돈해서 풀고,

여러 문제들을 많이 풀다 보면 실수도 줄어들게 된다.

이에 맞춰서 공부를 하면 손쉽게 성적을 올릴수 있다.

중학생은 대부분 1학기면 50점대에서 최소 8~90점대로 오를수 있다.

단. 학생이 열심히 했을때에 가정이다.

아무리 훌륭한 선생이라 할지라도, 수학은 암기과목처럼 외워서만으론 문제를 풀수 없기 때문이다.

시험과 문제를 똑같이 낼 수 없기에....(비슷하게, 유형은 잡을수 있다.)

요지는 수학 문제에 겁먹지 마라. 한줄 한줄을 식으로 만들고 문제를 풀어가다 보면,

결국은 1+1에 도달하게 될 것이니....

중고등학생 위주의 과외 선생으로서 중고딩 위주의 수학 공부법만 쓸 예정이다.

사실 초등학생 수학이 가르치기 쉽다고 생각하지만, 그건 수학이 쉬운거지 가르치기 쉬운건 아니다.

아무것도 모르는 아이에게 뭔가를 가르치게 한다는건 정말 어려운 일이기 때문이다.

그래도 수학의 사칙연산도 해보고, 뭔가 경험해본 중고등학생 정도 되는 이들이 가르치기 더 쉽다.

지난번에는 중고딩 수포자의 시작인 인수분해에 대해 강조했다. 인수분해만 잘해도 함수까지는 따라갈수 있다.

왜? 계산이 되니깐. 계산이 눈이 보이니깐.

인수분해를 그냥 할줄 아는데 그쳐서는 안된다. 그냥 식 보고 딱 답! 이 나올정도 연습해야 한다.

예를 들어 x² + 8x -20 이란 식이 있다. 인수분해가 1초만에 되는가? 최대 3초 안에 되어야 한다.

그래야 인수분해를 기본적으로 마스터했다고 할수 있다. (답은 (x+10)(x-2))

이정도는 할 수 있어야 학교든 학원이든 선생님이 풀어주는데 따라갈 수 있다.

그 속도를 못맞추면 어? 저거 왜 저래? 뭐지? 하고 막히는 순간 그 다음 풀이는 알아도 그 문제를 풀수 없다. 왜? 아는데까지 가질 못하니깐...

그래서 기본 문제 푸는게 아주 중요하다.

여기서 왜 인수분해를 하면 방정식에 함수까지 쉽다고 하는지 궁금하지 않은가? 그것은 풀이가 같기 때문이다.

예)

인수분해 : x² + 8x -20

방정식 : x² + 8x -20 = 0

함수 : y = x² + 8x -20

자 눈에 보이는가? 저 문제들의 차이가?

인수분해는 그냥 말그대로 방정식과 함수가 잘 풀리도록 하기 위한 한가지 방법이다.

즉 인수분해는 x² + 8x -20 = (x+10)(x-2) 이렇게 풀면되고

방정식은 x² + 8x -20 이란 식이 0이란 값을 갖게 하는 x를 찾는 것이다.

그 0을 찾기 위해 인수분해를 해서 문제를 푼다. 왜 인수분해를 해야만 풀리느냐? 인수분해가 제일 쉬우니깐... 뭐 안되면 그때가서 근의 공식을 쓰는것이다.

0 x 100 =? 얼마일까? 0x1000000000000000000000000000000 =? 얼마일까?

즉 모든 어떤 수던지 0을 곱하면 답이 0이 되는것을 응용한 방법이다.

□ x ★ = 0 이 되려면 □가 0이든지 ★ 이 0이면 된다는 소리다.

그러면 x² + 8x -20 = (x+10)(x-2) 이렇게 인수분해 되므로

(x+10) 이라는 □와 (x-2) 라는 ★ 의 모양으로 바뀌게 되는 것이다.

x² + 8x -20 = (x+10)(x-2) = 0

                    □ x ★ = 0

보이는가? 그래서 □가 0이 되기 위해 x는 -10이 되어야 하고, ★이 0이 되기 위해 x는 2가 되어야 한다.

방정식이 이게 다이다.

단 응용문제에서는 저 식을 세우는게 문제인 것이다. 저 식만 세우면 푸는건 인수분해 연습한걸로 풀리니깐...(또는 근의 공식등..)

자. 그럼 모두 어렵다고 하는 함수는 어떠한가? 

함수도 방정식의 연장선이다. 단 방정식은 0이 되는 x를 찾는다는 개념이면 

함수는 y라고 생긴 어떤 수가 되게 하는 x를 찾고, 반대로 x가 얼마일때 나오는 y를 찾는 것이다

글로만 보면 이해가 안된다. 식을 보자

x² + 8x -20 = 0 이려면 x = -10, 2 이어야 한다.(위에 방정식 풀이 참조)

x² + 8x -20 = -36 이 되려면 x = 4이어야 한다.

x² + 8x -20 = -32 가 되려면 x = 2, 6 이어야 한다.

.....

이런식으로 저 식은 y 자리에 오는 수가 어떤 수냐에 따라 x값이 계속 바뀌게 된다.

이런 x를 찾고 y를 찾는게 함수인데, 풀이는 역시나 인수분해를 많이 사용한다. 물론 다른 관점의 문제는 다른 풀이 법을 쓰지만, 

특히 2차함수에서는 인수분해를 많이 사용한다.

뭐 저 내용은 각자 학원이나 과외 선생님, 또는 공부해보면 알것이고...

결국 요는 인수분해는 중요하다.

그리고 다 달라 보이지만 다 같은 맥락이다.

이 점에서 겁먹을거 없다는 것이다.

조금씩 발전해 갈뿐..

수포자들이여 겁먹지 말고 지금도 늦지 않았으니 인수분해부터 시작하라..

그러면 해답지만 봐도 이해가 가기 시작할 것이다.

저는 수학을 10년 넘게 과외하고 가르쳐본 사람입니다.

지금은 직장을 다니고 있지만 지금도 직장 다니면서 퇴근 후에 짬짬이 과외도 하고 있지요.

과외 학생만도 30명이 넘습니다. 

다들 제각각의 유형의 학생들이었는데, 이 학생들의 공통점은 수학을 못한다. 어렵다. 라고 생각하는 것이었습니다.

왜?

뭐가 어려운가?

그런데 재밌는 사실은 이 어렵다고 하는 친구들이 어릴때, 즉, 초등학교때는 어렵지 않아 했다는 겁니다.

재미있는 사실이죠?

단지 어려워 하기 보다는 문제 풀기를 귀찮아 했죠. 덧셈 뺄셈 반복 반복 반복.....

빽빽한 문제 앞에서 모르는건 아닌데 풀기는 귀찮고, 또 고생해서 풀었는데 실수라도 하나 하면 짝대기 쭉~

맘 상하죠..ㅎㅎㅎ

그런 친구들이 어찌어찌 버디면서 중학교 올라와서부터는 큰 벽에 막힙니다.

바로 인수분해죠.

뭐 중1까지는 초딩때 배우던 '네모칸에 알맞는 숫자는?' 대신에 'x의 값은?' 으로 바뀐것만 잘해도 어찌어찌 버티는데,

중2 되면서 이차 방정식 들어가면서 한번 휘청하다가 인수분해 들어가면 그땐 GG!! 

그러다가 함수 나오면 그냥 수포자로....

하지만 인수분해만 잘해놔도 굉장히 쉬워집니다.

물론 인수분해를 잘하기 위해선 센스도 중요하지만 좋은 선생님을 만나는게 중요하다고 생각합니다.

혼자서도 잘하는 친구도 있지만, 대부분 혼자보단 누군가의 설명이 더욱 이해가 빠르게 되죠.

그런면에서 저는 철저히 인수분해를 가르치고 넘어가죠. 그래야 뭐라도 하거든요.

인수분해 못하면 땡입니다.

중1때부터 수학 잘하고 싶으면 인수분해 하세요. 절대적으로..충분한 시간을 할애해서..

모르겠으면 반복해서라도.. 인수분해는 꼭 하고 넘어가세요.

그러면 일단 한고비는 넘기는 겁니다.

그럼 1차 관문 통과...